上周,诺贝尔经济学奖获得者约翰纳什和电影“美丽心灵”主题在车祸中丧生

早在1958年,财富科学作家乔治AW博姆就成为第一批记录博弈论和其他发展的记者之一“新数学”他的文章“抽象的新用途”以纳什的简短生物为特色,纳什在上周被广泛引用为首批提及当时正在兴起的数学家的文章之一,早在世界知道他的挣扎之前精神病患者从来没有这么多人将这种抽象数学应用于如此多的问题为了满足工业,技术和其他科学的需求,数学家不得不发明新的数学分支并扩展旧的数学分支他们已经建立了一个人们在主题的经典分支中训练的新思想的超结构几乎不会被认为是数学应用数学家一直在与世界的成功斗争奇怪的是,当时纯粹的数学家似乎已经几乎失去了与现实世界的联系

数学一直是抽象的,但正如上个月“财富”杂志报道的那样,纯粹的数学家正将抽象推向新的界限

对他们来说,数学是他们追求的艺术为了艺术的缘故,他们并不太在乎它是否会有实际用途

然而数学的非常抽象性使它有用通过将其概念应用于世俗问题,数学家通常可以刷除模糊的细节并揭示简单的模式天体力学,例如,使天文学家能够在过去或未来的任何时间计算行星的位置,并预测彗星的出入现在这个古老而深奥的数学分支突然变得非常实用,用于计算地球卫星的轨道数学谜题可能有重要的应用数学家仍然试图找到一个通用的规则计算粒子从矩形网络的一个角落移动到另一个角落的途径的数量,而不会跨越自己的路径当他们解决这个看似简单的问题时,他们将能够告诉化学家关于长链分子的构建高分子聚合物对实际问题感兴趣的数学家们已经学会了解决仅仅十几二十年前超出数学范围的许多问题

他们已经开发出新的统计方法来控制高速工业大规模生产的质量

他们奠定了基础对于运营商用于安排生产和分销的研究技术他们已经创建了一个详细的“信息”理论,使通信工程师能够准确地评估电话,广播和电视线路

他们通过博弈理论解决了人类行为的复杂问题,适用于军事和商业战略他们分析了设计对工厂生产线和超音速飞机等复杂系统的自动控制现在,他们已经准备好解决太空旅行的许多问题,从导航和导航到超越地球大气层的导弹的飞行动态数学家几乎没有开始将注意力转向生物和社会科学,但这些曾经是纯粹的描述性科学已经开始了数学精确性的新口味生物学家开始将信息理论应用于继承社会学家正在使用先进的现代统计学来控制他们的抽样数学和生命科学之间的联系得到了加强通过出现一整套应用数学专业,如生物识别,心理测量学和计量经济学现在他们拥有电子计算机,数学家正在解决他们几年前不敢解决的问题在几分钟内他们可以得到回答以前会有要求需要数月甚至数年的计算在设计计算机并对其进行编程以执行指令时,此外,数学家们不得不开发新技术,尽管计算机对纯数学理论贡献很小,但它们已被用于测试数字之间的某些关系

现在似乎有可能有一天电脑会发现并证明一个全新的数学定理美国的前所未有的增长 数学,纯粹和应用导致好数学家严重短缺提供这种需求是一个棘手的问题数学家需要比以往更多的培训;但他们不能在学校花更多的时间,因为数学家在年轻时通常是最有创意的

数学教育的一个全新的概念,从九年级开始,可能提供唯一的逃避这种困境的方法

应用数学家必须成为一个有创造力的人应用数学不仅仅是解决问题它的主要目标是找到适用于各种问题的新的数学方法例如,相同的微分方程可以描述原子核对中子的散射和无线电的传播通过电离层的波浪相同的拓扑网络可能是电路中携带电流的电线的数学模型,以及在茶话会上散布谣言的流言蜚语

由于应用数学与其解决的问题密不可分,所以应用数学家必须熟悉至少有一个其他领域 - 例如空气动力学,电子学或遗传学纯数学家认为他的工作很大通过美学标准;应用数学家是一位实用主义者他的工作是为现实世界提取数学模型,如果他们工作,他会满意他的抽象往往是非常牵强附会的,例如,他可能会认为太阳是一个集中在零点的质量体积,或者他可以把它看作是一个完美的圆形和同质的球体如果它导致预测与实验和观察一致,那么这两种模型都是可以接受的这种事实态度有助于解释长期建立的概率领域的根本性变化理论意大利和法国数学家在三个世纪前提出了这个问题来分析骰子的投注几率从那时起,对数学感兴趣的哲学家一直严重关注一个神秘的“偶然机构”的性质

然而,工作数学家并不担心机会的哲学概念他们认为概率是一种抽象的和未定义的属性 - 就像物理学家认为质量或者是基本一样rgy这样做,数学家已经将概率论的技术扩展到很多问题,这些问题显然没有涉及到机会因素

Robert Mottar的照片John Nash刚刚三十岁,纳什已经成为了一位杰出的数学家,他渴望解决最困难的问题他是为数不多的年轻数学家之一,曾在纯数学和应用数学方面做过重要工作

卡内基科技大学的本科生提出了现代博弈论的一些基本概念

不久之后,他对高原抽象的代数几何场后来他发展了一些关于纯数学和应用数学中非常重要的非线性微分方程的新定理

他现在是麻省理工学院的副教授,正在研究量子理论

他还将数学应用到他的一项业余爱好上:股票市场预测Oswald Veblen Veblen仍然是一位七十八的一流数学家,他选择原来的教师,包括爱因斯坦,约翰·冯·诺伊曼,为研究所普林斯顿不像他的叔叔托尔施泰因时,脾气古怪的社会学家先进的研究,维布伦是温和的,但如果他想他的方式,同事们都说,他成功地得到它筹集资金的天才已经帮助Courant成立了纽约大学数学科学研究所,成为美国杰出的应用数学分析中心直到1933年,他领导当时世界着名的哥廷根大学应用数学系,并且他已经将纽约大学中心模型化了* * *今天的概率几乎就像几何学的一个分支一个特定实验的每个结果都被当作一条线上一个点的位置每次重复实验都是该点的坐标在另一个维度中结果的概率是一个非常像量的几何量度的度量在概率中的许多问题归结为几何a对许多维度的空间分散的点的分析现代概率论的一个最有生命力的话题就是所谓的“随机游走”一个简单的例子是赌徒的破​​产问题,其中两个人玩游戏,直到其中一个是破产者 如果一个以100美元开始,另一个以200美元开始并且他们以每场1美元的价格出场,那么他们赌博的进展可以被绘制为长300线(即,美元)的线上的点

该点跳转一个单位,向右或向左,每次游戏进行时,以及何时到达线的任何一端,一个赌徒已经破产问题是要计算游戏可能持续多久以及每个赌徒赢得数学家的几率最近发现了一些令人惊讶的事实这样的游戏当两个玩家都拥有无限的资本并且游戏可以无限期地继续下去时,潜在玩家往往不会像大多数人猜测的那样经常换手在两个玩家都有相同获胜机会的游戏中 - 比如匹配便士 - 之后20,000场比赛,赢家一直领先八十八倍,因为两位球员平均分配领先优势无论比赛持续多久,一名球员从一开始就领先于那个e铅已经多次转手随机行走的抽象适用于很多的身体状况一些清晰地涉及机会 - 例如,气体的扩散,汽车交通流量,谣言的传播,流行病的进展该技术有甚至被用来证明,在最后一个冰期后,携带种子的鸟类必须帮助重建不列颠群岛北部的橡树林

但是一些现代随机游走问题与机会没有明显的联系

在一个复杂的电气网络例如,如果终端电压是固定的,则可以通过将整个电路视为一种二维赌徒破产游戏来计算电路内部各点处的电压

数学统计是概率论的主要分支,是正如概率论本身一样根本改变古典统计主要作为一个法庭起作用,警告其用户不要得出危险的结论它所作出的判断总是有些模棱两可,例如:“98%的药物确实至少是药物B的两倍”但是如果药物A实际上只有一半有效,那该怎么办

古典统计学承认了这种可能性,但它并没有评估其后果现代统计学家通过一组被称为决策理论的新的想法更进一步“我们现在试图为在不确定条件下必须采取的行动提供指导, “哥伦比亚大学的赫伯特罗宾斯解释说:”目标是最大限度地减少由于我们对自然真实状态的无知造成的损失

实际上,从博弈论的角度来看,统计推断成为玩科学的最佳策略,称为科学“新方法下面的例子说明了一个慈善家提供了一次抛硬币,让你打电话给“头”或“尾巴”如果你猜对了,他会支付给你100美元你注意到这个硬币非常弯曲和殴打,以至于更多可能会比另一方着陆但是你不能决定硬币的哪个方面有利慈善家愿意让你用试验翻转来测试硬币,但他坚持要你付1美元f或者每个实验在决定之前应该购买多少试验翻转

答案当然取决于试验的结果如果硬币头五次出现,你可能会得出这样的结论:它几乎肯定偏向于头部但是如果你有三个头部和两个尾部,你肯定会要求进一步试验行业经常面临这样的问题有一个新产品的制造商在决定是否投放市场之前对其进行测试他测试的越多,他肯定他的决定是对的但测试会花费金钱,他们需要时间现在,现代统计可以帮助他平衡风险和获得收益,并决定继续测试多久

它还可以帮助他设计和实施实验

涉及大量多维几何的新方法可以指出如何改进产品和工业过程

统计学家通常可以运用这些方法来调整全面的工业工厂而不中断生产(例如,请参见第124页上的图)经典统计量另一种方式是最新的发展之一是“非参数推断”,这是一种根据大小,寿命,美元价值或任何其他分级质量对事物进行分类的结论方式 重要的是统计样本的大小以及该样本中任何特定对象的排名

只要可以比较它们,实际上并不需要测量任何对象

例如,可以说,如果样本由473个物体组成,99%肯定只有1%的这类物体会比样本中最大的物体大

这些物体是什么都没有区别 - 人,汽车,玉米穗,或从帽子中抽出的数字如果您认为体积小,智能,巡航速度或任何其他相关质量不是很大,则说明仍然正确在实际应用中,非参数推理正用于测试成批的灯泡通过燃烧例如,63个灯泡的样品,制造商可以得出结论,批次中所有灯泡的90%几乎肯定(100个中有99个机会)比测试期间第二个灯泡的寿命长博弈论是另一个应用数学最引人注目的发展之一,它是概率论的另一个分支

从数学的角度来看,博弈论并不特别深奥;许多数学家的确认为它很浅但令人兴奋,因为它为数学家提供了一种对人类行为的分析方法博弈论基本上是对人或诸如军队,公司或桥梁伙伴关系等人群之间竞争的数学描述理论上,球员知道比赛的所有可能结果,并且明确每个结果对他们来说都是值得的

他们意识到他们所有可能的策略以及他们的对手的策略

他们总是表现出“理性”(尽管数学家并不确定如何界定“理性”行为)显然,博弈论代表了高度的抽象;人们从来没有如此有目的和充分了解情况,即使是像国际象棋游戏那样限制竞争

然而,人们的抽象是有效的,因为博弈论在分析商业和军事情况时证明是有用的当它在二十世纪初被开发出来时,主要由法国的埃米尔博雷尔和德国的约翰冯诺伊曼组成,博弈论局限于最简单的竞争形式

直到1944年,关于这个主题的论文(冯诺依曼和普林斯顿经济学家奥斯卡摩根斯坦的游戏和经济行为理论)从两张牌之间的有限投注形式的单卡扑克中吸引了很多说明性的例子

然而,现在,两人零和游戏(其中一个玩家获得对手输的东西)的策略已经非常彻底分析和博弈理论推动更复杂的竞争类型,这种类型的竞争通常更真实早期的博弈理论在假设每个计划应该被设计为与一个全明智的对手进行比赛,他们会发现战略并采用他自己最有效的反击策略

从军事角度来说,这等于假设敌人的情报服务是无懈可击的

博弈论解决方案是一种随机混合策略在这种情况下,每一个动作都是偶然发生的,比如掷骰子,这样敌方就不可能预测到它(美国武装部队教导情报官员去估计敌人的能力而不是他的意图)许多数学家认为这种方法不现实谨慎最近,游戏理论家制定了策略,可以利用粗心大意或不熟练的对手,如果他碰巧精打细算,就不会冒任何风险

用数学方法分析最困难的游戏是玩家不严格地相互竞争一个例子是劳资协商谈判;双方都会失败,除非他们达成协议另一个复杂的因素是玩家之间的勾结 - 例如,两个买家之间的协议不会互相竞标另一个是在“游戏”框架之外支付金钱,就像大公司持有一个分销商通过补贴他分析这种复杂的情况最大的问题是找到一个分配利润的数学程序,这样才能满足“理性”的参与者兰德公司的Lloyd Shapley开发了一个公式外部仲裁员必须决定付款 该公式告诉他如何给予玩家与其议价能力相适应的支付,并使支付总额达到最大

应用Shapley的“仲裁价值”有明显的实际困难首先,支付或价值各自玩家接收很少可以简单地用美元来衡量因此,如果玩家要说谎他们想从游戏中获得什么以及他们对它的评价有多高,那么仲裁员将很难决定合理的分配

虽然博弈论已经贡献了一个对现代统计中的决策理论有很大的影响,但对于复杂的人类情况的实际应用并未取得惊人的成功主要的麻烦似乎是,没有客观的数学方法来制定“理性”行为或衡量给定结果对特别的球员然而,至少,博弈论让数学家有兴趣分析人类事务,并具有激励作用更多的经济学家和社会科学家研究高等数学博弈论可能是更深入的数学方法的先行者,它有一天会帮助人们更准确地解释他对人类行为的看法

数学的骨干和纯粹应用是被称为“分析”的技术聚合分析过去几乎与微分和积分微积分的应用是同义的

然而,现代分析人员使用几乎所有其他数学分支的定理和技术,包括拓扑学,数字理论和抽象代数在过去的二三十年里,数学分析人员用微分方程取得了快速进展,微分方程几乎可以用作涉及任何类型变化的几乎所有物理现象的数学模型

今天,数学家知道在计算机上求解许多类型的微分方程的相对简单的例程

但是,仍然没有简单的方法f或者求解大多数非线性微分方程 - 当发生大的或突然的变化时通常会出现的那种类型典型的是描述当飞机加速通过声速时产生的空气动力冲击波的方程式俄罗斯数学家已经集中了大量的理论力量非线性微分方程的一个结果一个结果是,俄罗斯人在自动控制的研究中现在领先于世界其他地区,这可能说明他们在导弹方面的成功很多

在分析领域,电子计算机具有也许是他们对应用数学的最​​重要贡献它仍然需要一位熟练的数学家来建立一个微分方程并解释解决方案但是在最后阶段,他通常可以将工作减少到一个数值程序 - 可能长而乏味,但也足够简单让计算机在几分钟或最多几小时内完成计算机的实际情况可用的数学分析方法可以从数学角度分析许多曾经由各种经验法则处理的问题,准确性也较差计算机对纯数学也有一定影响面对指导计算机应该做什么和如何去做的问题,数学家重新开放了一个陈旧而部分休眠的领域:布尔代数这个数学分支将形式逻辑的规则降为代数形式它的两个公理与普通高中代数的公理完全不同

布尔代数a + a = a,并且a×a = a当a被解释为语句时,理由变得清楚,加号为“或”,并且乘号为“和”

因此,例如,加法公理可以由下式表示:“(this (这件衣服是红色的)意思是(这件衣服是红色的)“数值分析是近似研究的一个主要部分,是数学家为计算机编程问题而复兴的另一个领域

仍然需要完成大量关于数字四舍五入的数字错误的纯粹和基础的数学研究计算机特别容易犯这样的错误,因为它们可以操纵的数字的大小是有限的如果一台机器得到一个很长的数字,它必须在最后删除数字并使用近似值 虽然近似值可能非常接近,但如果在问题的后期阶段乘以一个较大的因子,误差可能会变得非常大

通常可以安全地假设在长运算示例中四舍五入会趋于均匀

例如,一列很长的数字,如果你把4423简单地看作44,把51761看作518,那么你可能不会犯太多错误

但是,假设四舍五入不可能造成严重的错误积累,这完全是迷信(It如果所有的数字都是在499年结束的话,那么显然会是这样)

在某些更复杂的计算类型中有更微妙的缺陷在一些涉及用于求解联立方程的矩阵的典型计算机问题中,Cal Tech的John Todd构造了看似简单的数值问题,电脑根本无法应付在某些情况下,电脑会得到非常不准确的结果;在其他情况下,它根本无法产生任何答案数值分析师要想方设法预见这种麻烦,然后避免它,这是一个挑战

计算机对纯数学的直接贡献很少,除了在数论领域但结果并不确定,但加利福尼亚大学的DH Lehmer已经让一台计算机列出了所有素数小于46,000,000的列表(素数是一个只能由其自身或一个 - 例如2, 3,17,61,1,021)对名单的研究证实,至少达到46,000,000的素数是根据理论上在大约一个世纪以前制定的“法则”在其他整数中分配的

法律规定,小于任何给定大数的素数X大约等于X除以X的自然对数(实际上,近似值总是稍低一点)莱默的列表也倾向于证实有关dis的猜测孪生素数的分布 - 即两对连续的奇数,它们都是质数,如29和31,或者101和103

小于X的孪生素数大致等于X除以X的自然对数的平方得克萨斯大学的Lehmer和HS Vandiver也使用计算机来测试全球数学家仍在试图证明或反驳的着名定理

三百年前,法国数学家费马表示不可能满足以下等式如果n大于2,则用整数(除零)代替所有字母:an + bn = cn Lehmerand Vandiver试图找到一个例外如果可以的话,定理将被反驳幸运的是,他们没有必要测试每一个可以想象的数字组合;用n来代替所有的素数就足够了并且还有更多的快捷方式例如,数n必须不能将任何一组所谓的“伯努利数”分开,否则它不能满足方程式(伯努利数是不规则第一个是1/6;第三个是1/30;第十一个是69½,730;第十三,7/6;第十七,43,867 / 798;该系列后面的第十九,1,222,277 / 2,310个数字是巨大的) Lehmer和Vandiver已经对所有素数n的费马定理进行了测试,达到4,000,但它们似乎已经到了死胡同

伯努利数字在这个阶段接近10,000个数字长,即使是一台快速计算机也需要一整小时来测试每个数字n当机器没有发现异常这一事实当然不能证明费马定理,虽然它也许增加了一个保证定理是真实的度量

但是计算机可能产生一个数学证明艾伦兰德公司的纽厄尔和赫伯特阿斯卡内基科技的周一制定了一套指令程序,告诉高速计算机如何计算Principia Mathematica中包含的数学逻辑中的一些基本定理的证明,Alfred North Whitehead和Bertrand Russell的三卷论文Newell和Simon程序基于启发式思维 - 这种类似于预感和类比的方法,创造性的人类思维能够简化复杂的问题计算机提供了一些基本公理,它存储了以前证明的所有定理当它被告知证明一个不熟悉的定理,它首先试图用它已知的定理来进行类比和比较 在很多情况下,电脑会在几分钟内产生合乎逻辑的证据;在其他情况下,它根本没有提供任何证据

可以想象,有可能编程一台计算机,用算法方法来解决定理,这是一种用尽方法来消除所有可能性的方法

但是这样的程序可能需要几年的时间才能用最快的计算机尽管大多数数学家嘲笑这个想法,但是纽厄尔和西蒙相信启发式编程很快就能使计算机做出真正有创造力的数学工作

他们猜测,在十年内,计算机将会发现并证明一个任何人都没有想到的重要的数学定理数学家但计算机不会让数学家失业相反,计算机已经为数学开辟了如此多的新应用,以至于数学家的工业就业机会在过去的五年中增加了一倍多

在250人中约有四分之一的人今年正在获得博士学位的数学将进入工业领域 - 主要是飞机,电子ics,communications和石油公司1946年,只有大约九分之一的博士在工业界找到工作岗位虽然大多数公司都喜欢在物理或工程方面有相当大背景的数学家,但许多公司也渴望雇用专注于纯数学的人开始为一位年轻的数学家付出新的博士学位,现在飞机行业的平均年薪接近10,000美元,约为1950年的两倍(约为今天大学起薪的两倍)

然而,大量的工业数学是由物理学家完成的,工程师在毕业后改用数学而且还有学士和硕士学位的人选,特别是在编程计算机进行计算时

不同的公司以不同的方式使用数学家有些人将他们与工程师,物理学家,冶金学家以及其他科学家但越来越多的人设立了特殊数学g它们开展他们自己的研究项目,并为其他科学部门进行严格有限的问题解决

最古老和最杰出的工业数学系于1930年由贝尔电话实验室成立

它由六到八名专业数学家开始,慢慢到战争结束后十年内它的规模翻了一番今天,该系有大约三十名专业数学家,其中一半拥有博士学位,另一半拥有其他科学博士学位

该系对数学有突出贡献值得注意的是信息理论,这是在克劳德香农战争期间和之后开发的,作为语言及其交流的数学模型对各种数学家的需求正在迅速超过美国教育系统的能力膨胀数学课程的入学人数已经开始向大学和大学征税数学系在普林斯顿,佛罗里达州例如,数学专业的年级只有五到十名,但去年的初级班的十九名成员当选为数学专业

使事情进一步复杂化,好的大学和学院部门不再要求他们的教授们教十二至十五小时了周为了教师也可以进行研究,大多数学校的平均课堂时间减少到9小时,而在一些最好的大学里,课堂时间减少到不到6个

然而,这位严肃的数学学生现在需要比以往更多的培训如果他想要在行业或顶尖大学做得不错,他必须拥有博士学位;如果他想在研究方面表现出色,他应该有一两年的博士后研究*现代数学有很多东西需要掌握,但是令人惊讶的是它比大多数高中时代传统教授的数学要容易得多大学,尽管其抽象性和复杂性一个显然会有所帮助的变化将是开始早期教授重要的现代概念和技术现在教数学的方式,抱怨达特茅斯的约翰G凯梅尼说:“这是你可以学习的唯一主题十四(即通过二年级的微积分),而没有学习自1800年以来所做的任何事情“一些大学正在现代化他们的数学课程方面取得进展 几个不再需要三角学的特殊课程“我们确实不需要培训每个人成为一名测量员,”一名系主任解释道,在Kemeny的领导下,达特茅斯在过去的五年中几乎完全修改了本科课程

现在,实际上,三门数学课程分别为数学专业,另一门为工程师和其他必须接受数学培训的学生,第三门为希望让数学成为他们文化背景的文科学生

课程非常受欢迎90%的达特茅斯学生至少需要一个学期的数学,超过60%的学生完成一年(数学对其中的大部分都是选修课)Kemeny和两名同事为他们的一门课程写作一本名为“有限数学导论”的杰出教科书在1957年1月出版后的一年内,它已被约100所大学使用,在某些情况下,j适用于专为社会科学专业设计的数学课程纽约的几所中学已经为特殊学生的特殊部分采用了这本书更多的数学教学运动已经过渡到中学阶段大学入学考试理事会通过其数学委员会制定了一个中学数学课程现代化计划该委员会的主要目标是根据其执行主任Albert E Meder的说法,让学生了解数学的真正意义,他指出,现代发展代数的一些想法不再是“记忆中的技巧的分离,而是对数学结构的研究;几何不再是按照精确的顺序排列的一组定理,不需要理解就可以记住“大学理事会得到了大多数领先数学家的支持

其中约二十个人今年夏天在耶鲁会见了二十名高中数学老师,写了大纲样本教科书部分基于大学委员会的建议这个组织由耶鲁大学的EG Begle领导,计划在明年编写实际的书籍,以便教师和商业出版商知道数学家应该如何在高中教数学

美国数学教育最激进的一步已经被伊利诺伊大学的实验高中采纳

在那里,在大学数学系成员的指导下,一位教育学教授马克斯贝贝曼推出了一套全新的数学课程

用算术和代数的非形式化的公理方法,并从各个方面进行研究概率论,集合论,数论,复数,数学归纳和解析几何这种方法反映了现代数学的严谨性,抽象性和普遍性

为了让一些新概念腾出空间,贝伯曼及其顾问们不得不减少金额花时间钻研像代数表达式这样的技术迄今为止,这个实验对学生来说非常刺激 ​​- 当然,部分原因是因为该课程是一个实验

在1957年的高考中,第一组学生完成伊利诺伊州课程的四年取得了全国最高分数,而其他十二所高中现在已经通过伊利诺伊州数学课程实验,但它不可能在一段时间内被广泛使用

原因是大多数高中教师必须完全重新接受教育并与卡内基基金会的支持,伊利诺伊大学已开始培养高科技来自多个州的教师教新课程多年来,一位想成为老师的学生很难知道他需要什么数学来教授任何严肃的高中课程

斯坦福大学的George Polya教授解释说:“数学系[一所大学]为他们提供了他们无法咀嚼的强硬牛排,以及教育学院无味的汤汁

“美国国家科学基金会已帮助超过50所高校设立了高中教师可以在暑假学习数学的机构甚至整整一个学年

然而,很多数学家可能会有这样的想法,总会需要更多的一流思想来创造新的数学

这对于应用数学和纯数学都是如此 对于应用数学现在提出了足够的智力挑战来吸引即使是学术人员也为自己而自豪地创建数学一位年轻的助理教授最近提供了16,000美元的产业认真考虑放弃他的大学生涯他解释说:“我认为应用数学中的问题会给我提供与更多基础研究一样多的刺激

“需要全新的数学领域来应对其他科学和人类事务中的问题

例如,交通工程师仍然缺乏数学方法来分析湍流四车道公路交通;并且可能需要数年的时间才能将精确的数学推理应用于三维空中交通生物学家除统计学外几乎不使用数学,但现在其中一些人正在认真考虑应用拓扑学这一数学分支涉及广义形状和无视大小,可能是描述活细胞的尺寸和形状巨大变化的最合适的方式

神经生理学家正在寻找一种新的代数来代表思维过程,这绝不是随机的,而不是完全有条不紊的

还有一些代数非常简单的问题,正在挑逗数学家他们还没有找到,例如,以下问题的一般解决方案:给定一个N褶皱的路线图,您可以重新折叠它的方式有多少

当这个问题解决后,会有另一个难题

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